Matemática 19 de abril de 2023, 20:31 19/04/2023

O que fazer? Vamos pensar bem, usando o processo hierárquico-analítico para tomada de decisões 

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Jovens revisores

Resumo

Você sabia que toma uma média de 35.000 decisões por dia? Algumas dessas escolhas são relativamente sem importância, como decidir o que comer no café da manhã. Mas outras têm um impacto maior no seu futuro, como escolher qual universidade você irá cursar. Ao se deparar com uma decisão difícil, como você analisa todas as opções para escolher a melhor? O processo hierárquico-analítico é um método que pode ser utilizado. Ele ajuda a tomar decisões difíceis, e compara várias alternativas para chegar à melhor escolha.

O que é o processo hierárquico-analítico?

Como você toma decisões complexas quando não há uma melhor resposta óbvia? Imagine que precisa comprar uma bicicleta nova. A Bicicleta A é mais barata do que a Bicicleta B, mas a Bicicleta B oferece muito mais recursos do que a Bicicleta A. Qual o critério mais importante para você – custo ou recursos? Ou talvez outra coisa? Às vezes, tomamos decisões seguindo nossos instintos ou confiando em experiências passadas. E também podemos buscar o conselho de outras pessoas ou fazer uma lista de prós e contras. Outro método que pode ajudá-lo a processar todas as informações e tomar sua decisão é chamado de processo hierárquico-analítico (PHA). Uma hierarquia é um sistema de classificação de opções diferentes entre si, com base na importância. 

O PHA é particularmente útil quando você quer tomar uma decisão e não existe claramente uma melhor escolha. Talvez haja mais critérios envolvidos na decisão – não apenas dois, como no exemplo da bicicleta. O PHA combina matemática e psicologia para comparar várias opções e escolher a melhor [1]. Isso é feito usando um conceito chamado comparações de pares. Em vez de comparar vários critérios ao mesmo tempo, são comparados dois de cada vez. Desse modo, a escolha se torna mais fácil. 

A álgebra linear é um tipo de matemática que nos ajuda a calcular a importância dos critérios graças ao uso de matrizes. O PHA usa álgebra linear para avaliar os resultados de cada comparação de pares. Cada critério recebe seu próprio peso de importância. Quanto maior o peso, mais importante é o critério para a decisão geral. Esse método de comparação pode ser aplicado a muitas decisões. Por exemplo, você pode usá-lo para selecionar um produto ou serviço, como um carro ou um voo de avião. Você também pode usá-lo para escolher o processo ou rota mais eficiente, como avaliar se deve usar o transporte público ou privado para chegar à escola [2]. 

O PHA é usado diariamente em fábricas, negócios, engenharia e outras atividades. Por exemplo, pode ser usado para priorizar a manutenção de estruturas de uso público, como pontes [3]. Atualmente, existem 56.000 pontes nos Estados Unidos que precisam de reparos. Esses reparos custariam um total de US$ 123 bilhões. No entanto, não há dinheiro suficiente no orçamento para consertar todas as pontes. Assim, os engenheiros usaram o PHA para desenvolver um sistema de classificação de pontes. Esse sistema de classificação decide quais pontes devem receber manutenção, dado o orçamento limitado. O sistema considera, para cada ponte, a segurança, o uso, a facilidade de trânsito e a capacidade de resistir a danos. 

Os engenheiros usaram comparações de pares a fim de ponderar e comparar quatro critérios para 2.988 pontes dos EUA. Com base nos quatro critérios, cada ponte recebeu uma classificação geral, indo de “excelente” a “reprovada”. Os engenheiros descobriram que nenhuma das pontes que avaliadas foi classificada acima de “boa”. Na verdade, 75% de todas as pontes estudadas eram apenas “satisfatórias” – ou pior! As classificações chamam a atenção para problemas com infraestrutura em nosso país e podem exigir mais dinheiro para manutenção e reparo. As classificações também nos dizem quais pontes precisam ser consertadas primeiro. Decidir qual ponte precisa ser reparada pode até salvar vidas! 

Como usamos o processo hierárquico-analítico? 

O PHA consiste de quatro etapas: 

  1. Identificar a decisão, opções e critérios.
  2. Fazer comparações de pares.
  3. Calcular o peso de importância de cada critério.
  4. Identificar a melhor opção graças ao cálculo de algo chamado utilidade. 

Decisão, opções e critérios

Toda decisão começa com uma pergunta: qual é a melhor alternativa? Por exemplo, você pode usar o PHA para escolher qual universidade irá frequentar. Nesse cenário, pode querer decidir qual de suas três principais opções (Universidades A, B ou C) é a melhor para você. Depois de entender a pergunta e as opções, decidirá quais critérios considerar. Talvez os três critérios mais importantes para você sejam encontrar uma escola de preço acessível, localizada perto de casa e bem conceituada. Depois de identificar esses critérios, poderá começar o processo de comparação de pares. 

Comparação de pares

Os critérios importantes que você identifica são então organizados em matrizes. Uma matriz é uma grade de informações dispostas em linhas e colunas. Nas matrizes de PHA, cada critério tem sua própria linha e coluna. As matrizes quadradas resultantes permitem a comparação de pares de todas as combinações possíveis de critérios (Figura 1). 

Figura 1. Exemplos de matrizes PHA.[A] A matriz A é um exemplo de matriz 3 x 3. Ela mostra como as comparações de pares são organizadas e referenciadas usando-se subscritos: por exemplo, x12 se refere ao espaço de grade na primeira linha, segunda coluna. (B) A matriz B é também uma matriz 3 x 3. Ela contém os três critérios em nossa decisão da universidade: custo, localização e conceito. Nesse exemplo, cada espaço de grade contém uma pontuação das comparações de pares. Essas pontuações amostrais revelam que o custo é o fator de decisão mais importante, seguido do conceito acadêmico e, por último, da localização. 

O primeiro passo das comparações de pares consiste em atribuir um número a cada espaço de grade. Esse número é a importância relativa dos dois critérios. Por exemplo, uma pontuação de 1 significa que ambos os critérios são igualmente importantes. Quando um critério é comparado consigo mesmo, sua importância relativa é 1, pois os critérios comparados são os mesmos. Números maiores mostram que um critério é cada vez mais importante, sendo 9 a pontuação mais alta [1]. Na linha 1 da Figura 1B, o custo é sete vezes mais importante (x12 = 7) para a decisão final que a localização e cinco vezes mais importante (x13 = 5) do que seu conceito acadêmico ou reputação. Esse processo é repetido para todos os espaços da grade à direita da diagonal (a metade superior direita da matriz). 

Como o custo é sete vezes mais importante do que a localização, podemos dizer também que a localização é 1/7 tão importante quanto o custo (x21). Da mesma forma, como o custo é cinco vezes mais importante do que a reputação acadêmica, esta deve possuir 1/5 da importância do custo (x31). O processo de usar recíprocos, ou inversos (1/x), para descrever a relação oposta entre dois critérios é repetido para todos os espaços da grade à esquerda da diagonal (a metade inferior esquerda da matriz). Se o critério 1 é x vezes tão importante quanto o critério 2, então o critério 2 deve ser 1/x tão importante quanto o critério 1. 

Pesos de importância

A matriz preenchida é então usada para calcular os pesos de importância, que informam até que ponto cada critério irá influenciar sua decisão. Quanto maior o peso de importância de um determinado critério, mais influência ele terá na sua decisão final. Essa parte do PHA baseia-se na álgebra linear. O primeiro passo para determinar o peso  de um critério é encontrar a média geométrica (V) da linha. A média geométrica é um tipo de valor médio. Você pode encontrar a média geométrica multiplicando todas as pontuações de importância relativa da linha (x) e obtendo a n-ésima raiz desse produto (onde n = número total de critérios). É melhor usar a média geométrica do que a média aritmética (soma/n) para esse tipo de cálculo [4]. Este exemplo de equação mostra como calcular a média geométrica do critério 1 da matriz genérica 3 x 3 (Figura 1): 

V1 = √3 x*11 x*12 x13

Em seguida, divida a média geométrica do critério pela soma das médias geométricas de todos os critérios. O decimal resultante é o peso (W) desse critério. Esse método é chamado de normalização, pois garante que a soma de todos os pesos seja igual a 1 ou 100%. Os pesos somam 1 porque cada critério é responsável por uma parte de toda a decisão. Este exemplo de equação mostra como calcular o peso do critério 1 da matriz genérica 3 x 3 (Figura 1A): 

W1 = v1/v1 + v2 + v3

O que acontece se fizermos os mesmos cálculos para o critério de custo, usando as pontuações de importância relativas da Figura 1B? 

Vcusto  = √1*7*5 = 3.27; Wcusto = 3,27/3,27 + 0,36 + 0, 84 = 0,73

Isso nos diz que o custo representa 73% da decisão geral de qual universidade frequentar. Usando esse mesmo método, encontramos que o peso calculado para a localização é de 8% e o do conceito é de 19%. 

Utilidade: qual é a melhor opção?

A etapa final do PHA é determinar a utilidade. A utilidade é um valor numérico que fornece informações sobre quão útil algo é para você, e o ajudará a selecionar a melhor opção. Quanto mais benéfico ou proveitoso for um critério, maior será sua utilidade. A utilidade pode ser medida de forma diferente para cada critério. Em nosso exemplo, a acessibilidade é medida em dólares. A localização é medida em milhas (1 milha = 1,609 km) a partir de casa. O conceito acadêmico recebe uma pontuação, onde #1 representa a escola mais bem avaliada (primeiro lugar) e os números mais altos correspondem às universidades menos prestigiadas. Quando os critérios têm unidades diferentes, devemos primeiro convertê-los em unidades padronizadas chamadas utiles (uma medida de utilidade sem unidade) usando gráficos chamados funções de utilidade. Na Figura 2, você pode ver como nós usamos as funções de utilidade na decisão da universidade. A utilidade total considera a utilidade de cada critério individual e sua importância para a decisão geral. A utilidade total é igual à soma dos produtos dos pesos de cada critério e o respectivo valor de utilidade: 

Utotal = W1 * U1 + W2 * U2 + … + Wn * Un

Figura 2. Exemplos de funções de utilidade para o processo de decisão da universidade. Para a acessibilidade, uma escola com mensalidades gratuitas tem a máxima utilidade possível: 100 utiles. Se a mensalidade exceder seu orçamento de 20.000 dólares por ano, ela terá a utilidade mínima possível: 0 utiles. Para a localização, se seu objetivo é ficar perto de casa, uma escola a 0 milha de distância ganha 100 utiles. Uma escola com mais de 300 milhas de distância ganha 0 utiles. Para o posicionamento acadêmico, a escola mais bem classificada (#1) ganha 100 utiles. Uma escola que não chegou a 200 ganha 0 utiles. (A) Utilidade de custo. (B) Utilidade de localização. (C) Utilidade de posicionamento. 

Uma vez que os três critérios tenham sido medidos, a utilidade total de cada opção é encontrada. Um exemplo de cálculo de utilidade para a Universidade A é: 

Custo    Localização    Posicionamento

Utotal= 0,73 * 50 + 0,08 * 90 + 0,19 * 70 = 57,00

Usando esse mesmo método, encontramos os dados de utilidade total para as Universidades B e C, mostrados na Tabela 1. 

Tabela 1. Dados do exemplo da universidade. São fornecidos exemplos de custos, localizações e posicionamentos. Os valores (em utiles) de utilidade de custo, localização e posicionamento são de funções de utilidade na Figura 2. Esses valores foram inseridos na função de utilidade para se calcular a utilidade total. A utilidade total de cada universidade é vista na coluna mais à direita. 

Com base nos resultados do PHA, a Universidade B é a melhor escolha. Como visto na Tabela 1, a Universidade B tem a utilidade total maior, 62,05. Isso porque é a opção mais acessível e o custo responde a 73% da decisão geral. Graças à sua excelente localização, a Universidade A fica em segundo lugar, com uma utilidade total de 57,00. Embora a Universidade C seja a escola mais bem conceituada, ela tem uma utilidade total muito menor (43,44) do que as outras duas devido a seu alto custo; portanto, é a pior escolha. 

Resumo

O PHA é uma ferramenta poderosa que pode ser usada em casa, na escola ou no trabalho. Ele remove propensões do processo de tomada de decisão e garante que a decisão que você tomar reflita seus valores e prioridades. Da próxima vez que você se deparar com uma decisão difícil, considere usar o PHA para fazer sua escolha. As possibilidades são infinitas – o PHA é limitado apenas pela criatividade de quem o aplica. 

Glossário

Processo hierárquico analítico: Método de tomada de decisão que compara múltiplas alternativas, cada uma com vários critérios, para ajudar a selecionar a melhor opção. 

Comparação de pares: Processo que compara dois critérios ao mesmo tempo.

Álgebra linear: Ramo da matemática que diz respeito a funções lineares, espaços vetoriais e matrizes. 

Utilidade: Representação numérica do grau de proveito ou benefício que uma coisa tem para você.

Matriz: Grade de informação, como números, letras e símbolos dispostos em filas ou colunas.

Média geométrica: Valor médio de um conjunto de números encontrados como produto de seus valores e não sua soma. 

Útil: Medida de utilidade sem unidade usada para padronizar as unidades de critérios diferentes.

Referências

[1] Ishizaka, A. e Labib, A. 2011. “Review of the main developments in the analytic hierarchy process.” Expert Syst. Appl. 38:14336–45. DOI: 10.1016/j.eswa. 2011.04.143.

[2] Ho, W. e Ma, X. 2018. “The state-of-the-art integrations and applications of the analytic hierarchy process.” Eur. J. Oper. Res. 267:399–414. DOI: 10.1016/j.ejor.2017.09.007.

[3] Contreras-Nieto, C., Shan, Y., Lewis, P. e Hartell, J. A. 2019. “Bridge maintenance prioritization using analytic hierarchy process and fusion tables.” Autom. Construct. 101:99–110. DOI: 10.1016/j.autcon.2019.01.016. 

[4] Krejˇ ci, J. e Stoklasa, J. 2018. “Aggregation in the analytic hierarchy process: why weighted geometric mean should be used instead of weighted arithmetic mean.” Expert Syst. Appl. 114:97–106. DOI: 10.1016/j.eswa.2018.06.060.

Citação

Jagoda J., Schuldt, S. e Hoisington, A. (2020). “What to do? Let’s think it through! Using the analytic hierarchy process to make decisions.” Front. Young Minds. 8: 78. DOI: 10.3389/frym.2020.00078.  

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