O que é um jogo?

Quando ouvimos a palavra “jogo”, logo pensamos em futebol, banco imobiliário, xadrez ou joguinhos de computador. Duas características que são compartilhadas pelos três primeiros, e por alguns jogos de computador, são a exigência de mais de uma pessoa para participar do jogo e o fato de que as decisões de cada jogador causam impacto nas decisões dos demais participantes. 

Na área da matemática chamada teoria dos jogos, qualquer situação que apresente essas duas características é chamada de jogo. De acordo com essa definição, jogar é algo que fazemos o dia inteiro. Por exemplo, em nossos relacionamentos com familiares, com colegas de classe e com professores – e, é claro, em jogos reais. A teoria dos jogos só estuda jogos que envolvam mais de um jogador. Por exemplo, os jogos de computador Fortnite, League of Legends e Call of Duty são considerados jogos, mas não os jogos individuais Witcher e God of War. 

Os jogos que mencionamos são complexos e, ao jogar, cada jogador toma inúmeras decisões. Para entender como analisar os jogos, vamos observar um simples exemplo: o jogo dos pastores. 

O jogo dos pastores

Cinco pastores vivem em uma certa aldeia, cada um cuidando de um rebanho de ovelhas. Ao meio-dia, as ovelhas estão com sede e cada pastor conduz as suas a um dos dois poços da aldeia: o poço do norte ou o poço do sul. Cada poço é coberto por uma pedra pesada para evitar que a areia e a sujeira poluam a água, sendo necessárias cinco pessoas para removê-la. Para qual poço cada pastor conduzirá seu rebanho? 

A situação descrita aqui é um jogo: tem cinco participantes – os cinco pastores – e cada jogador deve tomar uma decisão: ir para o poço do norte ou para o do sul. Se todos os pastores conduzirem seus rebanhos para o mesmo poço, eles poderão tirar a pedra e dar de beber aos seus rebanhos. Se não forem todos para o mesmo poço, as ovelhas ficarão com sede. O que os pastores deveriam fazer? É claro que, para dar água às ovelhas, todos precisam escolher o mesmo poço. Essa constataçãonos leva a um conceito importante na teoria dos jogos: o de equilíbrio, inventado por Nash [1]. 

O comportamento do jogador no jogo é chamado de equilíbrio se nenhum jogador puder lucrar mudando seu comportamento, desde que os outros participantes não mudem o deles. No jogo dos pastores, ocorre o equilíbrio quando todos os pastores se encontram no poço do norte. Se todos fizerem isso, juntos poderão remover a pedra e dar de beber às suas ovelhas. Se um dos pastores fizer uma escolha diferente e decidir ir para o poço do sul, ficará sozinho ali, não poderá remover a pedra e, o mais importante, não conseguirá dar água para suas ovelhas. Um segundo equilíbrio ocorre quando os cinco pastores se encontram no poço do sul. 

Há equilíbrios adicionais no jogo dos pastores. Por exemplo, os pastores 1, 2 e 3 vão para o poço do norte e os pastores 4 e 5 vão para o poço do sul. Nesse caso, nenhum poço será destampado e assim nenhum dos pastores conseguirá dar água às suas ovelhas. Mesmo se um dos pastores resolver ir para o outro poço, ainda não haveria cinco pessoas ali e ele não poderia dar água ao seu rebanho. Ou seja, uma mudança no comportamento de um único pastor não mudará o resultado e, consequentemente, essa situação também é um equilíbrio. Enquanto os dois primeiros equilíbrios descritos aqui são “bons” porque as ovelhas matam a sede, o terceiro é “ruim” porque elas ficam sem beber. 

O Paradoxo de Braess

O conceito de equilíbrio permitiu ao matemático alemão Dietrich Braess explicar um fenômeno interessante relacionado ao transporte. Para descrevê-lo, vamos olhar para o sistema de estradas mostrado na Figura 1.

Duas rodovias conectam Battle Creek e Detroit – uma estrada ao norte que passa próximo à cidade de Lansing e uma estrada ao sul que passa próximo à cidade de Jackson. O tempo de viagem em cada seção da estrada depende do número de carros que passam por ela em um determinado momento. Por exemplo, o tempo de viagem de Battle Creek a Lansing é de 20 minutos se menos de 40 veículos trafegarem na estrada por minuto; e o tempo de viagem de Lansing a Detroit é de 60 minutos se menos de 40 veículos trafegarem na estrada por minuto. Em qualquer trecho da estrada em que pelo menos 40 veículos trafegam, o tempo de viagem é estendido em 20 minutos. Por exemplo, se 30 veículos por minuto estiverem viajando na rota norte, o tempo total de viagem de Battle Creek a Detroit será de 80 minutos; e se 60 veículos estiverem viajando nessa rota por minuto, o tempo total de viagem será de 120 minutos. 

Cada motorista pode escolher qual rota seguir para Detroit e o objetivo de cada motorista é minimizar o tempo de condução. Vejamos uma situação em que, no início da manhã, 60 veículos por minuto partem de Battle Creek para Detroit. A situação descrita aqui é um jogo: tem 60 participantes – os motoristas partindo de Battle Creek para Detroit; e a decisão de cada jogador é a rota que eles seguirão –, mais a estrada do norte ou a estrada do sul. Conforme observado, os motoristas desejam minimizar o tempo de condução. Quais são os equilíbrios nesse jogo? Cada qual deseja viajar acompanhado de menos de 40 motoristas. Por exemplo, um equilíbrio é quando 35 motoristas pegam a rota norte e 25 pegam a rota sul. Outro equilíbrio é quando 29 motoristas pegam a rota norte e 31 pegam a rota sul. Em cada equilíbrio, o tempo total de condução de Battle Creek a Detroit é de 80 minutos. 

Como parte de um projeto de atualização de infraestrutura, uma estrada de 10 minutos foi construída entre Lansing e Jackson (Figura 2). É fácil de ver que os dois equilíbrios descritos anteriormente não são mais equilíbrios após a construção da nova estrada. Considere, por exemplo, o equilíbrio onde 35 motoristas vão para a rota norte e 25 para a rota sul. Como anteriormente, o tempo total de condução de Battle Creek a Detroit na rota norte é de 80 minutos. No entanto, se um motorista escolher viajar de Battle Creek para Lansing na rota norte (tempo de viagem 20 minutos), pegar a nova estrada para Jackson (tempo de viagem 10 minutos) e de lá dirigir para Detroit na rota sul (tempo de viagem 20 minutos, porque agora há 26 carros naquele trecho da estrada), então o tempo total de viagem será de 50 minutos. Ou seja, ao usar a nova via, o motorista economizará 30 minutos. 

Acontece que, depois da construção, o único equilíbrio se dá quando todos os motoristas decidem ir de Battle Creek para Lansing, de lá para Jackson e de lá para Detroit (Figura 2). Nessa situação, o tempo total da viagem aumenta para 90 minutos -10 minutos a mais do que antes da construção da nova estrada. Se um dos motoristas escolher uma rota diferente – por exemplo, a rota norte –, seu tempo de viagem aumentará 100 minutos (40 minutos de Battle Creek até Lansing e 60 min de Lansing até Detroit). 

Esse resultado é surpreendente porque, embora a nova estrada tenha sido construída para encurtar o tempo de viagem de Battle Creek a Detroit, ela fez exatamente o oposto. Isso aconteceu porque, antes da construção da nova estrada, menos de 40 motoristas usavam cada uma das duas rotas, mas, depois da construção, todos os motoristas passaram a usar seções das rotas norte e sul. Ao fazer isso, eles congestionam ambas as rotas, aumentando o tempo total de viagem. 

O fenômeno apresentado aqui aconteceu mesmo na vida real. Em 1969, uma nova estrada foi construída na cidade alemã de Stuttgart, mas, em vez de melhorar a situação, tornou mais lento o tráfego para a cidade. O tráfego voltou à situação anterior só depois que a nova estrada foi fechada. Em outro caso na cidade de Nova York, a autoridade local fechou uma série de seções de estrada em 2009 e descobriu que isso melhorava o fluxo do tráfego. Como resultado, esses trechos de estrada foram transformados em passarelas para pedestres. 

Sumário

O conceito de equilíbrio nos ajuda a analisar jogos. Quando o comportamento dos jogadores está em equilíbrio, não convém a nenhum deles mudá-lo e, consequentemente, o comportamento se mantém estável. Esse conceito serve de base para a economia moderna, na qual se supõe que cada membro da população deseja maximizar seus objetivos. Ele também serve como pedra angular das redes na ciência da computação, onde se presume que todo usuário tenta enviar e receber informações o mais rápido possível. Analisar jogos e identificar seus equilíbrios permite que os jogadores antecipem o que acontecerá no jogo, entendam o que devem fazer e planejem seus próximos passos. 

Glossário

Jogo: Situação com mais de um participante na qual cada um tem seu objetivo e toma decisões, que impactam os outros participantes. 

Teoria dos jogos: Campo da matemática que trata da análise de jogos. A teoria dos jogos é usada como ferramenta de tomada de decisões na política, na economia e em outras áreas. 

Equilíbrio: Comportamento dos jogadores no qual não é interessante para nenhum deles ser o único a mudar seu ambiente, pois não se beneficiará da mudança. 

Referência

[1] Nash, J. F. Jr. 1950. “Equilibrium points in n-person games.” Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 36:48–9.

Citação

Solan, E. (2022). “Games and how math can help us win them.” Front. Young Minds. 10:932214. DOI: 10.3389/frym.2022.932214. 

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