Como são feitas as descobertas matemáticas?

Você ficaria surpreso ao saber que grandes e novas descobertas na matemática estão sendo feitas o tempo todo? Às vezes, as pessoas pensam que a matemática envolve, principalmente, aprender a usar fórmulas descobertas nos tempos antigos, como o teorema de Pitágoras. Embora isso não seja verdade, as descobertas matemáticas podem, muitas vezes, ser difíceis de explicar em termos não técnicos, ou não terem aplicações imediatas no mundo real. Na verdade, nós, os autores, não sabíamos de novas descobertas matemáticas até nos tornarmos estudantes universitários. Por isso, queremos dar a você uma visão privilegiada de como essas descobertas podem ocorrer. 

Assim como na maioria das novas ciências, as novas descobertas matemáticas nascem da curiosidade de entender como o mundo funciona. Em nossa opinião, o desenvolvimento de hábitos mentais que induzem a questionar por que as coisas são verdadeiras, e se essas verdades podem ser aplicadas a novas situações, costuma levar à descoberta de uma nova matemática. As pessoas que desejam descobrir a nova matemática devem ser curiosas sobre por que e como a matemática funciona, ao invés de apenas aceitar os fatos sem questionar! Com esse espírito, o presente artigo conta a história da nossa própria descoberta matemática. 

O problema do ladrilhado: quais as formas que podem cobrir o plano sem deixar lacunas ou apresentar sobreposições? 

Os ladrilhados são padrões formados a partir de formas que cobrem vários tipos de superfícies. Você sem dúvida já viu pisos de cozinha e pátios de azulejos, ou talvez exemplos mais elaborados, como a arte de M. C. Escher. Olhe à sua volta e, provavelmente, verá muitos ladrilhados, como nas Figuras 1A-C. Os ladrilhados aparecem no mundo natural, como no favo de mel das abelhas, na lama rachada do fundo de um lago seco e no pelo de uma girafa. Eles são usados até para entender como os átomos de cristais se encaixam. Os matemáticos têm trabalhado há muitos anos para entender e classificar vários tipos de ladrilhados. 

Em geometria, define-se o ladrilhado como um arranjo de formas que cobre toda uma superfície plana que se estende indefinidamente em todas as direções, e é chamada de plano, sem lacunas ou sobreposições (Figuras 1D–F). Para entender a ciência dos ladrilhados, os matemáticos tentam responder a esta pergunta crucial: “Que formas podem ser usadas para formar ladrilhados?” Esse é o chamado Problema dos Ladrilhados. Como as formas dos ladrilhados podem ser muito variadas (irregulares, curvas, pontiagudas, grandes ou pequenas), é impossível responder a essa pergunta sem simplificá-la. 

Para simplificar o Problema dos Ladrilhados de modo que possamos ter a esperança de resolvê-lo, devemos restringir suas condições de três maneiras. Primeiro, exigimos que todos os ladrilhos individuais do desenho tenham o mesmo formato e tamanho, isto é, devem ser congruentes. Esses são os chamados ladrilhados monoédricos (Figuras 1E, F). Em segundo lugar, exigimos que o ladrilho usado para criar o desenho seja um polígono, isto é, uma forma delimitada por linhas retas, como um triângulo (três lados) ou um pentágono (cinco lados). Por último, exigimos que o polígono seja convexo, isto é, que todos os seus cantos apontem para fora, como na Figura 1E. Polígonos de três lados são chamados de triângulos; polígonos de quatro lados, quadriláteros; polígonos de cinco lados, pentágonos; polígonos de seis lados, hexágonos; em geral, polígonos com n lados são chamados de n-gonos.

Quando usamos essas limitações, nossa versão simplificada do Problema dos Ladrilhados, chamada de Problema dos Ladrilhados com Polígonos Convexos, pressupõe esta pergunta: “Quais polígonos convexos podem ser usados para formar ladrilhados monoédricos do plano?” (Você mesmo pode tentar fazer isso seguindo as instruções do Apêndice A). A solução para o Problema dos Ladrilhados com Polígonos Convexos tem uma história rica, que se estende por mais de cem anos e envolve muitas pessoas (Tabela 1). Algumas das que contribuíram para a solução desse problema não eram matemáticos profissionais; eram apenas pessoas curiosas que perguntavam “Por quê?”. Esperamos que isso incentive você a fazer o mesmo! 

Ladrilhados isoédricos – Receitas para Ladrilhados

Imagine que você tenha dois ladrilhos iguais, que colocados um sobre o outro fiquem em perfeito alinhamento. Agora, imagine deslizar o de cima em qualquer direção para que ele se alinhe perfeitamente com o de baixo. Esse movimento é chamado de simetria do ladrilhado. Outra maneira de entender a ideia de simetria de um ladrilhado é pensar em uma “imagem antes” e uma “imagem depois” – se você deslizar um ladrilho, e as imagens antes e depois de deslizar ficarem exatamente iguais, então a direção e a distância do deslizamento constituem uma simetria do ladrilhado. Para descrever a complexidade das simetrias de um ladrilhado monoédrico, podemos perguntar se, para quaisquer dois ladrilhos nesse desenho, existe ou não uma simetria do ladrilhado que mova o primeiro em direção ao segundo. Se a resposta for sim, o ladrilhado é isoédrico. 

Os ladrilhados isoédricos têm a mesma aparência em torno de cada ladrilho, de modo que podemos entender como as formas se encaixam em todo o ladrilhado apenas entendendo o que está acontecendo ao redor do limite de qualquer dos ladrilhos. A forma como os ladrilhos se ajustam uns aos outros em um ladrilhado isoédrico é descrita por um símbolo de incidência, que pode ser visto como uma espécie de receita de como uma forma pode ladrilhar o plano (consulte o Apêndice B para explorar a ideia de símbolos de incidência). 

Como encontramos um novo tipo de pentágono 

Movidos pela curiosidade, começamos a procurar características comuns dos tipos de ladrilhados conhecidos na época (tipos 1 a 14 na Figura 2). Fizemos duas observações importantes, que geraram ainda mais perguntas! 

Primeiro, os tipos 1 a 5 podem produzir ladrilhados isoédricos. Nos tipos 6 a 14, se você agrupar dois ou três pentágonos para atuar como um único ladrilho, esse agrupamento produzirá um ladrilhado isoédrico; alguns tipos formam ladrilhados por agrupamentos de dois pentágonos, como nas Figuras 2G, L, e outros formam ladrilhados por agrupamentos de três pentágonos, como nas Figuras 2J, N. Essa observação nos levou a considerar como podemos descobrir novos pentágonos convexos que cubram da mesma maneira o plano em aglomerados isoédricos. 

Nossa segunda observação, ao longo dos limites dos aglomerados nos ladrilhados dos tipos 6 a 14, foi que a parte central das bordas de alguns pentágonos encontrava os cantos de outros pentágonos, conforme ilustrado pelos pontos vermelhos na Figura 2N. Chamamos esses pontos de nós planos. Perguntamo-nos quantos nós planos poderia haver em cada agrupamento e provamos que, em ladrilhados com agrupamentos de dois pentágonos, pode haver no máximo dois nós planos por agrupamento. Da mesma forma, em ladrilhados com agrupamentos de três pentágonos, existem no máximo três nós planos. Isso foi crucial para entendermos todas as possibilidades. 

Usando essas observações, desenvolvemos um algoritmo de computador para descobrir todos os pentágonos que esses ladrilhados agrupados, de tamanho até quatro, pudessem produzir. O tipo 15 (Figura 2-O) foi descoberto graças a essa busca computadorizada. O algoritmo funciona da seguinte maneira. Primeiro, os nós planos são colocados no limite de um agrupamento-modelo de três pentágonos. Segundo, um tipo isoédrico é escolhido para o agrupamento (entre 81 tipos possíveis) e o agrupamento é rotulado de acordo com a “receita” para esse tipo isoédrico. Terceiro, cópias de agrupamentos são colocadas em torno de uma cópia central do agrupamento, de acordo com a receita isoédrica. Quarto, os cantos e lados dos pentágonos individuais dos agrupamentos são rotulados (há muitas maneiras de fazer isso e o computador verifica todas elas).

Finalmente, a partir da figura resultante, são geradas equações que descrevem os lados e os ângulos dos pentágonos. As etapas desse processo estão ilustradas na Figura 3. 

Para a escolha da rotulagem dos pentágonos à direita na Figura 3, vemos no centro da figura que existem dois cantos rotulados B e um canto rotulado D; esse arranjo nos dá a equação 2B + D = 360º. Vemos também relações entre os lados; no meio da figura, em que b = d e b = e, e no lado direito, levando em consideração que o lado rotulado a se estende sobre um nó plano, vemos que a=e + d. Obtemos então as seguintes equações: 

2A + B + C = 360° 

2E + A = 360º 

2D +180º = 360° 

2C + E = 360º 

2B + D = 360^o

e = b = d 

a = e + d 

Essas equações simplificam as da Figura 2O. Para justificar que se tratava de um novo tipo, verificamos que poderíamos fazer um pentágono com ângulos e comprimentos laterais específicos, e que esse pentágono não satisfazia nenhuma das equações que definem os Tipos 1 a 14 (verifique você mesmo!). 

Após nossa descoberta do Tipo 15, o matemático francês Micheal Rao ouviu a notícia e decidiu investigar o problema. Provou que o pentágono por nós descoberto completava a classificação, ou seja, os Tipos 1 a 15 formam a classificação completa dos pentágonos que ladrilham o plano ([5]¹), resolvendo o antigo Problema de Ladrilhados com Polígonos Convexos! 

Glossário

Ladrilhado: Arranjo de formas que cobre todo o plano bidimensional infinito sem lacunas ou sobreposições. 

Ladrilhos: Lados individuais de um revestimento.

Ladrilhados monoédricos: Ladrilhados onde todos os ladrilhos são congruentes uns com os outros. 

Triângulos: Polígonos de três lados. 

Quadriláteros: Polígonos de quatro lados. 

Pentágonos: Polígonos de cinco lados.

Hexágonos: Polígonos de seis lados.

n-gonos: Em geral, polígonos com n lados. 

Polígonos convexos: Formas cujos limites são segmentos de linha reta e cujos cantos apontam para fora. 

Simetria: Modo de mover os ladrilhos de modo que o “quadro anterior” e o “quadro posterior” fiquem idênticos. 

Isoédrico: Se em um ladrilhado T monoédrico, para cada dois ladrilhos T₁ e T₂ em T, existir uma simetria de T que move T₁ para T₂, dizemos que T é isoédrico. 

Nó plano: Um nó plano em um ladrilhado transitivo de bloco-k por pentágonos é um ponto no limite de um bloco-k onde o canto de um pentágono encontra um ponto no meio de uma borda de outro pentágono. 

Ladrilhados transitivos de bloco-k: Aqueles em que aglomerados idênticos de pentágonos k, atuando como um ladrilho único, formam um ladrilhado isoédrico. 

Nota de rodapé

[1] M. Rao postou um artigo no ArXiv que ainda não passou por revisão de pares. 

Referências

[1] Reinhardt, K. 1918. Über die Zerlegung der Ebene in Polygone. Frankfurt: Univ. Frankfurt a.M. Noske.

[2] Kershner, R. B. 1968. “On paving the plane.” Am. Math. Mon. 75:839–44. 

[3] Niven, I. 1978. “Convex polygons that cannot tile the plane.” Am. Math. Mon. 85:785–92. DOI: 10.2307/2320624.

[4] Gardner, M. 1975. “Mathematical games.” Sci Am. 233:112–9.

[5] Rao, M. 2017. “Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane.” arXiv. DOI: 10.48550/arXiv.1708.00274.

Apêndice A: Recortes: Qual dessas peças pode cobrir o plano? 

Instruções: Recorte o contorno das formas individuais em preto e veja se você consegue formar ladrilhados usando peças de cada tipo de forma. Você pode achar mais fácil se usar cartolina em vez de papel comum. Um ladrilhado é possível ou impossível? E por quê? 

Apêndice B. Recortes: Tipos Isoédricos 

Instruções: Recorte as formas abaixo e monte-as conforme o símbolo de incidência. Linhas ou arcos da mesma cor se encaixam. 

Citação

Mann, C. e McLoud-Mann, J. (2023) “Puzzling pentagons – How many ways can we cover a flat surface?” Front. Young Minds. 11:953114. DOI: 10.3389/frym.2023.953114. 

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